SIFAT SIFAT FUNGSI
KOMPOSISI
KELOMPOK 4:
KATA
PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang,
Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan
rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan
makalah ilmiah tentang SIFAT SIFAT FUNGSI KOMPOSISI
Makalah ilmiah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ilmiah tentang limbah dan manfaatnya untuk masyarakan ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi terhadap pembaca.
Makalah ilmiah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ilmiah tentang limbah dan manfaatnya untuk masyarakan ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi terhadap pembaca.
Sungguminasa,4 Oktober 2016
Penyusun
DAFTAR
ISI
Halaman
Judul
Kata
Pengantar
Daftar
Isi
BAB I PENDAHULUAN
1.LATAR BELAKANG MASALAH
2.RUMUSAN MASALAH
3.TUJUAN
BAB II ISI
1.FUNGSI KOMPOSISI
2.PENGERTIAN FUNGSI
3.ALJABAR FUNGSI
4.KOMPOSISI FUNGSI
5.SIFAT–SIFAT FUNGSI
6.ILUSTRASI
7.DEFINISI FUNGSI KOMPOSISI
-SIFAT 1
-SIFAT 2
-SIFAT 3
CONTOH
SOAL
BAB III
PENUTUP
1.SARAN
2.KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
BAB I . PENDAHULUAN
1.LATAR BELAKANG
Matematika tidak sulit dipelajari asal tahu cara
mempelajarinya. Jadi, yang paling dominant yaitu cara belajar matematika yang
tidak tepat. Banyak guru disekolah masih mengajar matematika dengan cara lama,
yaitu guru aktif mengajar sementara siswa hanya memindah informasi yang ditulis
gurunya ke buku catatannya. Selain itu siswa disuruh mengerjakan soal-soal
latihan tanpa dibekali ketrampilan yang cukup. Pembelajaran matematika seperti
itu jelas membosankan sehingga sehingga pantas kalau banyak siswa mengeluh
tentang sulitnya belajar matematika. Padahal dengan mempelajari matematika
siswa diharapkan mempunyai kemampuan berpikir logis, kritis, analitis, dan
kreatif serta mampu bekerjasama.
Dalam menyelesaikan masalah siswa perlu mempelajari
terlebih dahulu konsep-konsep dasar matematika. Siswa tidak hanya menerima dan
mencatat apa yang disampaikan bapak dan ibu guru, ttapi siswa akan dibimbing
untuk menentukan sendiri konsep-konsep tersebut melalui berbagai kegiatan. Dari
mana asal usul konsep itu, bagaimana cara membuktikannya, dan bagaimana cara
menggunakannya, semua harus dipelajari dalam matematika.
Lalu adanya tugas yang diberikan kepada kami untuk
menyusun kelompok dan membuat sebuah diskusi kelompok yang bertema “SIFAT SIFAT
FUNGSI KOMPOSISI”
2.RUMUSAN MASALAH
-Bagaimana cara menentukan jenis sifat sifat fungsi
komposisi
-Bagaiman
langkah-langkah pemecahan masalah sebuah soal
3.TUJUAN
-Mendiskripsikan
apa saja tentang
fungis komposisi
-Mendiskripsikan
langkah-langkah menentukan sifat komposisi
-Mempelajari tentang apa apa saja
meteri yang terdapat pada Fungsi Komposisi
BAB II . ISI
1.FUNGSI KOMPOSISI
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk
sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi
komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi
baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
2.PENGERTIAN FUNGSI
Suatu relasi dikatakan sebagai fungsi jika setiap unsur di daerah asai
(domain = D) dipasangkan dengan tepat ke satu unsur di daerah kawan. Sebagai
misal A dan B masing-masing merupakan himpunan. Reiasi fungsi (f) dari A ke B
(f: A → B) dikatakan sebagai fungsi jika setiap anggota A dipasangkan dengan
tepat ke satu anggota B.
3.ALJABAR FUNGSI
1. Penjumlahan, Pengurangan,
Perkalian, dan Pembagian Dua Fungsi
Jika f dan g merupakan
fungsi, berlaku sifat-sifat aijabar fungsi sebagai berikut.
- Penjumlahan
fungsi : (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- Pengurangan
fungsi: (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- Perkalian
fungsi : (f . g)(x) = f(x) . g(x)
- Pembagian
fungsi : (f/g) (x) = f(x)/g(x) . g(x) ≠ 0
2. Daerah Asal Fungsi
Diketahui f dan g
merupakan fungsi dengan Df =
daerah asal f dan Dg =
daerah asal g. Daerah asal operasi aljabar dua fungsi sebagai berikut.
- Daerah
asal fungsi (f + g)(x): Df + g = Df ∩ Dg
- Daerah
asal fungsi (f – g)(x): Df -g =
Df ∩ Dg
- Daerah
asal fungsi (f . g)(x) : Df.g =
Df ∩ Dg
- Daerah
asal fungsi (f/g) (x) : Df/g = Df ∩ Dg dengan g(x) 0
4.KOMPOSISI FUNGSI
1. Pengertian Komposisi Fungsi
Jika f dan g merupakan
fungsi, komposisi fungsi f dan g (ditulis f ₒ g) dirumuskan sebagai berikut.
(f ₒ g)(x) = f(g(x))f
ₒ g dibaca f bundaran g atau f komposisi g.
Artinya, mula-mula unsure x € Dg dipetakan oleh g ke g(x), kemudian g(x) dipetakan oleh f ke f(g(x)). Dengan cara yang sama diperoleh komposisi fungsi berikut.(g ₒ f)(x) = g(f(x))
(f ₒ g ₒ h)(x) = f(g(h(x)))
Artinya, mula-mula unsure x € Dg dipetakan oleh g ke g(x), kemudian g(x) dipetakan oleh f ke f(g(x)). Dengan cara yang sama diperoleh komposisi fungsi berikut.(g ₒ f)(x) = g(f(x))
(f ₒ g ₒ h)(x) = f(g(h(x)))
5.SIFAT–SIFAT FUNGSI
Fungsi
Injektif (Fungsi Satu-Satu)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika anggota B dipasangkan dengan tepat ke satu anggota A, tetapi tidak semua anggota B harus mempunyai pasangan dengan anggota A. Dengan kata lain, fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika a1 , a2 € Df dengan a1 ≠ a2 maka f(a1) ≠ f(a2). Df = daerah asal fungsi f.
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika anggota B dipasangkan dengan tepat ke satu anggota A, tetapi tidak semua anggota B harus mempunyai pasangan dengan anggota A. Dengan kata lain, fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika a1 , a2 € Df dengan a1 ≠ a2 maka f(a1) ≠ f(a2). Df = daerah asal fungsi f.
Fungsi
surjektif (Fungsi onto)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi surjektif jika setiap anggota B mempunyai pasangan dengan anggota A.
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi surjektif jika setiap anggota B mempunyai pasangan dengan anggota A.
Fungsi
Bijektif (Fungsi Berkorespondensi Satu-Satu)
Suatu fungsi dikatakan bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif.
Suatu fungsi dikatakan bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif.
6.ILUSTRASI
Pernahkah
kalian memasak mie goreng instan?
Ada
2 tahap yang harus dilakukan sebelum mie siap disajikan. Pertama tahap
perebusan, mie kering harus direbus terlebih dahulu lalu ditiriskan.
Selanjutnya tahap pemberian bumbu, mie dicampur dengan bumbu yang telah
disediakan sehingga mie goreng instan siap disajikan.
Andaikan
tahap perebusan sebagai fungsi f dan tahap pemberian bumbu sebagai
fungsi g. Mie kering sebagai masukan awal dimisalkan x, melalui
fungsi f menghasilkan f (x) sebagai keluaran. Kemudian, f
(x) akan diproses lagi melalui fungsi g sehingga menghasilkan g
(f (x)) sebagai keluaran. Sampai tahap ini, kalian telah menyusun
fungsi komposisi g dengan f atau dapat dinyatakan dengan (g o
f ) (x) = g (f (x)).
Bagaimana
jika kedua tahap tadi ditukar urutannya? Tahap pemberian bumbu yaitu fungsi g
dilakukan terlebih dahulu. Tahap perebusan yaitu fungsi f dilakukan
setelahnya. Maka, fungsi yang terbentuk adalah komposisi f dengan g,
keluaran yang dihasilkan adalah f (g (x)) atau dapat
ditulis (f o g ) (x) = f (g (x)).
Apakah
dari tahapan yang berbeda akan dihasilkan mie dengan keadaan yang sama? Tentu
mie yang dihasilkan akan berbeda keadaan dan kualitasnya. Begitu pula dengan
fungsi komposisi. Ilustrasi tersebut merupakan ilustrasi dari salah satu sifat
fungsi komposisi. Untuk mengetahui sifat-sifat lainnya, ayo pelajari materi ini
dengan seksama.
7.DEFINISI
FUNGSI KOMPOSISI
Misalkan
fungsi f ditentukan dengan rumus f (x) dan fungsi g
ditentukan dengan rumus g (x) masing-masing terdefinisi pada
daerah asalnya, maka:
- fungsi f
dilanjutkan dengan fungsi g dinyatakan oleh (g o f )(x)
= g (f (x)) terdefinisi jika
Rf ∩ Dg ≠ ∅. - fungsi g
dilanjutkan dengan fungsi f dinyatakan oleh (f o g )(x)
= f (g (x)) terdefinisi jika
Rg ∩ Df ≠ ∅.
Dengan:
Df merupakan
daerah asal fungsi f
Rf merupakan
daerah hasil fungsi f
Dg merupakan
daerah asal fungsi g
Rg merupakan
daerah hasil fungsi g
Berdasarkan definisi fungsi komposisi tersebut, akan kita selidiki sifat-sifat fungsi komposisi. Mari kita mulai.
Sifat 1
Mari kita
selidiki apakah urutan tahapan fungsi berpegaruh pada pembentukan fungsi
komposisi?
Misalkan
fungsi f dinyatakan dengan f (x) =2x - 3 dan fungsi
g dinyatakan dengan g (x) = x + 2. Apakah (f o g)
(x) dan (g o f) (x) akan menghasilkan keluaran yang sama?
Ambil
sembarang x, misalkan x = 10.
(f o g
) (x) = f (g (x))
f(x) =
2x-3
= 2(x+2) – 3
= 2x+4-3
= 2x+1
(f o g
) (10) = 2x+1
= 2(10)+1
= 20+1
= 21
(g o f
) (x) = g (f (x))
g(x) =
x+2
=
(2x-3) + 2
g(x) =
2x-1
(g o f
) (10) = 2x-1
= 2(10) – 1
= 20-1
=19
Hasil akhir
dari kedua fungsi komposisi diatasberbeda, sehingga:
(f o g)
(x) ≠ (g o f) (x)
atau bisa
disebut tidak bersifat komutatif
Sifat 2
Mari kita
selidiki tentang pengaruh pengelompokan fungsi dengan fungsi komposisi yang
dihasilkan.
Misalkan
diketahui fungsi f (x ) = x + 3, fungsi g (x
) = 3x dan fungsi h (x) = 2x - 1. Apakah
((f o g ) o h ) (x ) dan (f o (g o h) (x ) akan menghasilkan keluaran yang sama?
((f o g ) o h ) (x ) dan (f o (g o h) (x ) akan menghasilkan keluaran yang sama?
Sebelumnya
akan ditentukan terlebih dahulu (f o g)(x) dan (g o h)(x)
(f o g)
(x) = f (g (x)) = f (3x) = 3x
+3
Jadi, (f
o g) (x) = 3x + 3
(g o h)
(x) = g (h (x)) = g (2x - 1) = 3 (2x
- 1) = 6x - 3
Jadi, (g
o h) (x) = 6x - 3
Selanjutkan
akan ditentukan ((f o g) o h) (x) dan (f o (g o
h) (x)
((f o g)
o h) (x ) = (f o g) (h (x )) = (f o g)
(2x - 1) = 3 (2x - 1) + 3 = 6x
(f o
(go h )) (x ) = f ((g o h ) (x )) = f
(6x - 3) = (6x - 3) + 3 =6x
Hasil akhir
dari kedua fungsi komposisi di atas sama, sehingga:
((f o g
) o h ) (x ) = (f o (g o h )) (x )
atau bisa
disebut bersifat asosiatif.
Sifat 3
Sekarang
bagaimana hubungan fungsi yang dikomposisikan dengan fungsi identitas I
(x ) = x, mari kita lanjutkan penyelidikan.
Misalkan
fungsi f (x ) = 5x + 7 dan fungsi identitas I (x
) = x, akan ditentukan (f o I ) (x ) dan
(I o f ) (x ).
(I o f ) (x ).
(f o I
) (x ) = f (I (x )) = f (x ) = 5x
+ 7
(I o f
) (x ) = I (f (x )) = I (5x + 7) = 5x
+ 7
Hasil akhir
(f o I ) (x ) dan (I o f ) (x ) sama, yaitu
5x + 7 yang tidak lain adalah f (x ), sehingga:
(f o I
) (x ) = (I o f ) (x ) = f (x )
atau bisa
disebut bersifat identitas.
Berdasarkan penyelidikan sifat-sifat komposisitersebut, dapat kita tarik kesimpulan sebagai berikut:
Jika fungsi f
dinyatakan dengan f (x ), fungsi g dinyatakan dengan g
(x ) dan fungsi h dinyatakan dengan h (x ), maka:
- Fungsi
komposisi tidak bersifat komutatif : (f o g) (x) ≠ (g o f)
(x)
- Fungsi
komposisi bersifat asosiatif : ((f o g ) o h ) (x ) =
(f o (g o h )) (x )
- Fungsi
komposisi bersifat identitas : (f o I ) (x ) = (I o f
) (x ) = f (x )
dengan fungsi identitas I dinyatakan dengan I (x ) = x.
Beberapa sifat tersebut akan membantu kalian dalam menentukan suatu fungsi komposisi,
CONTOH SOAL
Contoh 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) =
2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...
Penyelesaian :
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f
menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g
menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8
Contoh 2:
Diketahui fungsi f(x)=5x2−3f(x)=5x2−3 dan g(x)=2x+1g(x)=2x+1, tentukan nilai (f∘g)(−1)(f∘g)(−1) ?
Penyelesaian :
Penyelesaian :
menentukan fungsi komposisinya
(f∘g)(x) = f(g(x))
(f∘g)(x) = f(g(x))
= f(2x+1)
= 5(2x+1)2 -3
= 5(4x2 + 4x + 1) – 3
= 20x2 + 20x + 2
(f o g) (x) = 20x2 + 20x + 2
Sehingga nilai (f o g) (-1)
(f o g) (x) = 20x2
+ 20x + 2
(f o g) (-1) = 20(-1)2 + 20(-1) + 2
=
20.1 – 20 + 2
=
2
Contoh
3
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) =
-4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi g (x).
Penyelesaian :
(f o g) (x) =
-4x + 4
f (g (x)) =
-4x + 4
2 (g (x)) + 2 =
-4x + 4
2 g (x) =
-4x + 2
g (x) = -4x + 2
2
g (x) =
-2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1
Contoh 4:
Jika diketahui, (f o g) (x)
= 6x + 3 dan f(x) = 2x – 3. Tentukanlah g(x)!
penyelesaian
(f o g)(x) =
6x +3
f(g(x)) =
6x + 3
2f(x) – 3 =
6x +3
2g(x) =
6x + 6
g(x) =
3x +3
Jadi, g(x) = 3x +3
Contoh 5:
Jika diketahui, (f o g)(x) =
2x + 6 dan g(x) = x + 1. Tentukan f(x)!
Penyelesaian
(f o g)(x) =
2x + 6
f(g(x)) =
2x + 6
f(x + 1 ) =
2x + 2 + 4
f(x + 1) =
2(x + 1) + 4
sehingga,
f(x) = 2x +
4
jadi, f(x) = 2x + 4
BAB III . PENUTUP
1.SARAN
Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna,
kedepannya penulis akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang
makalah di atas dengan sumber – sumber yang lebih banyak yang tentunga dapat di
pertanggung jawabkan.
Untuk saran bisa berisi kritik atau saran terhadap penulisan
juga bisa untuk menanggapi terhadap kesimpulan dari bahasan makalah yang telah
di jelaskan. Untuk bagian terakhir dari makalah adalah daftar pustaka. Pada
kesempatan lain akan saya jelaskan tentang daftar pustaka makalah.
2.KESIMPULAN
Ada 3 sifat yang terdapat pada fungsi komposisi yaitu
- Fungsi
komposisi tidak bersifat komutatif : (f o g) (x) ≠ (g o f)
(x)
- Fungsi
komposisi bersifat asosiatif : ((f o g ) o h ) (x ) =
(f o (g o h )) (x )
- Fungsi
komposisi bersifat identitas : (f o I ) (x ) = (I o f
) (x ) = f (x )
dengan fungsi identitas I dinyatakan dengan I (x ) = x.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar