Makalah Matematika: PELUANG

makalah matematika peluang

KATA PENGANTAR

Asslamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, yang telah memberikan nikmat iman dan nikmat islam kepada kita, tak lupa shalawat beserta salam kami limpah curahkan kepada Nabi Muhammad SAW.

Pada kesempatan ini kami selaku penulis mencoba untuk membuat makalah tentang. “Peluang” Makalah ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas “MATEMATIKA”.

Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada segenap pembaca. Apabila dalam makalah ini terdapat banyak kekurangan, kami mohon maaf. Dan kami sangat menantikan saran dan kritik pembaca yang sifatnya membangun. Atas perhatiannya kami ucapkan terima kasih.

Sungguminasa, 18 Januari  2017

( KELOMPOK 7 )

 

 

 

 

BAB I

PENDAHULUAN

A.        LATAR BELAKANG MASALAH

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.

B.         TUJUAN PENULISAN

1.        Untuk memenuhi tugas matematika yaitu tentang peluang.

2.        Sebagai media belajar siswa yang memberikan banyak latihan yang dapat menunjang belajar mahasiswa.

3.        Diharapkan siswa memiliki kemampuan dalam menjelaskan konsep-konsep dalam peluang dan dapat menyelesaikan masalah tentang peluang.

C.        RUANG LINGKUP

Membahas materi tentang peluang yang sesuai dengan materi dalam standar isi.

 

 

 

 

 

 

BAB II

PEMBAHASAN

PELUANG

     - Pengertian Peluang

Dasar logika proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisa data sampel adalah peluang. Peluang adalah bilangan yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Peluang mempunyai nilai antara 0 dan 1. Peluang berhubungan dengan percobaan yang menghasilkan sesuatu yang tidak pasti.

A. Kaidah Pencacahan
            Kaidah-kaidah pencacahan mencoba menemukan beberapa banyaknya hasil yang mungkin terjadi (muncul) pada berbagai percobaan. Secara umum cara menemukan banyaknya hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan adalah dengan menggunakan pendekatan-pendekatan sebagai berikut :

1. Kaidah Perkaian
2. Permutasi
3. Kombinasi

I. Kaidah Perkalian
Kaidah perkalian mengatakan bahwa jika tempat pertama dapat diisi dengan cara yang berbeda, tempat kedua dengan cara, …., tempat ke-k dengan cara, maka banyaknya cara untuk mengisi tempat k yang tersedia adalah ….

Contoh:
Bila kita perhatikan nomor rumah yang terdiri atas dua angka, tanpa angka nol, maka banyak rumah yang dimaksud dengan nomor ganjil ialah ….Jawab: Nomor rumah yang dimaksud terdiri atas dua angka. Ini berarti ada dua tempat yang harus diisi, yaitu PULUHAN dan SATUAN. Karena nomor harus ganjil, maka tempat satuan hanya dapat diisi oleh bilangan-bilangan ganjil, yaitu 1, 3, 5, 7, dan 9. Dengan demikian ada 5 cara untuk mengisi tempat satuan, sehingga
Sedangkan tempat puluhan dapat diisi oleh angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sehingga Dengan demikian banyaknya rumah dengan nomor ganjil adalah :

II. Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Contoh :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

III. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

B. Peluang Suatu Kejadian
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa (kejadian, event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel

         Peristiwa sederhana: hanya memuat 1 elemen saja

         Peristiwa bersusun: gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana

         Jika hasil suatu experimen termasuk dalam himpunan A, maka dapat dikatakan bahwa peristiwa A telah terjadi.

Percobaan adalah suatu tindakan atau proses pengamatan yang menghasilkan outcome yang tak dapat diperkirakan kepastiannya.

Notasi :

         Ruang sampel ditulis dengan notasi S

         Peristiwa dinotasikan dengan huruf besar: peristiwa2 A, B, C, dst.

         Anggota (elemen) ruang sample dinotasikan dengan huruf kecil: a1, a2, a3, dst. Anggota / elemen ruang (sample point)

         Jika ruang sampel S beranggotakan a1, a2, dan a3, maka ruang sampel yang bersangkutan dapat disajikan sebagai: S = {a a1, a , a2, a , a3}

         Jika peristiwa A beranggotakan a1, a2, dan a3, maka peristiwa yang bersangkutan dapat dinotasikan sebagai A = {a1, a2, a3}

Contoh 1

Percobaan: Koin (head dan tail) dilempar 1 kali

Hasil: tampak H (head) atau T (tail)

Ruang sampel S = {H, T}

Peristiwa: A = {H, T}

Contoh 2

Percobaan: Pelemparan 2 buah koin (H dan T) sekaligus

Hasil: HH (H&H), TT (T&T), atau HT (H&T)

Ruang sampel: S = {HH, HT, TT}

Peristiwa: 1. Keduanya sama, A = {HH, TT}

2. Keduanya berbeda B = {HT}

Contoh 3

Percobaan: pelemparan 1 buah koin 2 kali berturutan

Hasil: HH (H kemudian H), HT (H kem T), TH (T kem H), atau TT.

Ruang sampel: S {HH, HT, TH, TT}

Peristiwa: 1. Berturutan sama, A = {HH, TT}

2. Berturutan beda, B = {HT, TH}

Anggota peristiwa A berbeda dengan anggota peristiwa B atau,

Peristiwa: 1. Muncul gambar yang sama, B = {HH, TT}

2. Paling sedikit muncul 1 H, A = {HH, HT, TH}

Anggota peristiwa A menjadi anggota peristiwa B, yaitu HH

Definisi-definisi

1.      Experiment adalah proses observasi yang mengarah ke single outcome (hasil tunggal), yang tak dapat diperkirakan.

2.      Data sampel (sampel point) adalah outcome yang paling mendasar dari suatu percobaan.

3.      Ruang sampel (sample space) dari suatu percobaan adalah kumpulan / koleksi / himpunan dari semua data sampel yg mungkin dihasilkan. Semua data sampel ini merupakan anggota ruang sampel, yang peluangnya totalnya = 1.

4.      Peristwa atau kejadian (event) adalah koleksi / himpunan data sampel yang spesific (mempunyai sifat khusus).

P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Aksioma peluang :

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan tersebut disebut peluang.

a.       Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai pelauang nol dan dinamakan kejadian  mustahil.

b.      Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu (peluang ruang sampel adalah satu)

c.       Peluang kejadian A bernilai antara 0 dan 1, yaitu 0 £ P (A) £1

d.      Jika A dan B adalah kejadian sehingga AÇB = Æ,maka P(AÈB) = P(A) + P (B)

Berdasarkan definisi di atas kita akan menentukan arti peluang dari kejadian sederhana. Jika kita mempunyai ruang sampel dengan anggota sebanyak n. selanjutnya jika kita anggap bahwa kesempatan muncul setiap anggota tersebut juga sama. Jika peluang muncul satu anggota adalah p, dan berdasarkan Aksioma (2),maka

p+ p+ p+…+ p =1

n suku

np = 1 Û p =

Misalnya pada [elemparan satu dadu berisi enam,peluang muncul angka 2 adalah

P =  =

Sifat : Nilai Peluang

Dalam ruang sampel (S) yang setiap kejadian sederhana mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian A adalah

P(A) =  =

Contoh

Kita mempunyai 4 bola putih (P) dan 3 bola merah (M). kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola merah.

Penyelesaian

Ruang sampel dari pengambilan satu bola adalah S = {P,P,P,P,M,M,M} dengan setiap bola mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Misalnya kejadian terambil bola merah adalah A, maka n(A) = 3. Jadi,peluang kejadian terambilnya bola merah adalah P(A) = .

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3


3. Kisaran Nilai Peluang
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah


5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misal sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Kejadian A adalah munculnya bilangan 3 dan ditulis A = {3}. Kejadian A¢ adalah munculnya bukan bilangan 3, ditulis A¢ (dibaca: A komplemen) = {1,2,3,4,5,6}. Diagram Venn untuk himpunan A dan A¢ dapat digambarkan seperti berikut.

Dari gambar di atas tampak bahwa AÇA¢ = Æ sehingga kejadian A dan kejadian A¢ merupakan kejadian yang saling lepas. Dengan demikian berlaku hubungan

P(AÈA¢) = P(A) + P(A¢)        (*)

Karena A¢ merupakan komplemen A , maka AÈA¢ = S atau n(AÈA¢) = n (S). Jadi,

P(AÈA¢) =  =  = 1      (**)

Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*) akan menghasilkan

P(AÈA¢) = 1 =  P(A) + P(A¢) Û P(A¢) = 1 – P(A)

Sehingga dapat dinyatakan bahwa

Apabila A dan A¢ merupakan dua buah kejadian yang saling komplemen, maka

peluang komplemen kejadian A, ditulis P(A¢), adalah  P(A¢) = 1 – P(A)

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

C. Peluang Suatu Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggunakan operasi antarhimpunan,suatu kejadian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi gabungan (union) dan opersi irisan.

1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :

5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:


D. Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:


Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :


2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :


Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, .... ,n
Dengan P sebagai parameter dan

P = Peluang sukses

n = Banyak percobaan

x = Muncul sukses

n-x = Muncul gagal